Trong câu "nếu P thì Q" đúng, P là điều kiện đủ để có Q (có P là chắc có Q), còn Q là điều kiện cần để có P (thiếu Q thì không thể có P). Ví dụ: "chia hết cho 4" là điều kiện đủ để một số là số chẵn, còn "là số chẵn" là điều kiện cần để chia hết cho 4. Khi P và Q kéo theo nhau cả hai chiều, ta nói P là điều kiện cần và đủ để có Q.
Hai khái niệm, một câu "nếu… thì…"
Điều kiện cần và điều kiện đủ không phải kiến thức mới tách rời: chúng chỉ là cách đọc khác của mệnh đề kéo theo P ⇒ Q mà chương trình Toán 10 dạy ngay chương đầu. Cùng một câu đúng "Nếu tứ giác ABCD là hình vuông thì nó là hình chữ nhật", ta có thể nói bốn cách:
- Nếu ABCD là hình vuông thì ABCD là hình chữ nhật.
- ABCD là hình vuông là điều kiện đủ để ABCD là hình chữ nhật.
- ABCD là hình chữ nhật là điều kiện cần để ABCD là hình vuông.
- ABCD là hình vuông chỉ khi ABCD là hình chữ nhật.
Bốn câu nói cùng một sự thật. Câu thứ tư, với chữ "chỉ khi", là câu người ta hay hiểu nhầm nhất, sẽ bàn ở dưới.
Cách nhớ không bao giờ lẫn
Hai hình ảnh giúp nhớ:
"Đủ" là đứng một mình cũng xong
Điều kiện đủ là thứ có rồi thì chắc chắn được. Số chia hết cho 4: chỉ biết vậy là đủ để kết luận nó chẵn, không cần hỏi gì thêm.
"Cần" là thiếu thì hỏng
Điều kiện cần là thứ không có thì chắc chắn không được, nhưng có rồi chưa chắc đã được. Số lẻ thì chắc chắn không chia hết cho 4. Nhưng số chẵn chưa chắc chia hết cho 4 (số 6).
Ví dụ quen thuộc trong môn Hoá và môn Công nghệ: muốn có lửa cháy cần đủ ba yếu tố là chất cháy, oxy và nhiệt độ đủ cao (thường gọi là "tam giác cháy"). Mỗi yếu tố là điều kiện cần: thiếu một là không cháy. Không yếu tố nào riêng lẻ là điều kiện đủ: có oxy thôi thì không khí quanh ta đã cháy hết. Phải có cả ba cùng lúc. Đây cũng là nguyên lý của việc chữa cháy: dập lửa là bỏ đi ít nhất một điều kiện cần.
Bảng ví dụ đời sống
| Câu | Cần hay đủ? | Vì sao |
|---|---|---|
| Có vé là điều kiện … để vào rạp chiếu phim. | Cần (thường không đủ) | Không vé thì không được vào; có vé nhưng đến sai suất hoặc phim giới hạn độ tuổi thì vẫn có thể bị từ chối. |
| Được ông bà tặng một chiếc xe đạp là điều kiện … để bé có xe đạp đi học. | Đủ (không cần) | Được tặng là chắc có xe; nhưng bố mẹ mua, mượn của anh chị cũng có xe, nên đây không phải điều kiện cần. |
| Điểm thi đạt ngưỡng đầu vào là điều kiện … để trúng tuyển. | Cần (không đủ) | Dưới ngưỡng thì loại; trên ngưỡng còn phải đủ điểm chuẩn và chỉ tiêu. |
| Số tận cùng là 0 là điều kiện … để chia hết cho 10. | Cần và đủ | Đúng cả hai chiều với số tự nhiên. |
| Ngủ đủ giấc là điều kiện … để học tốt. | Thường được coi là cần, chắc chắn không đủ | Thiếu ngủ kéo dài làm giảm tập trung; nhưng ngủ đủ mà không học thì cũng không giỏi lên. |
Dòng cuối cố ý mềm hơn các dòng trên. Ngoài toán học, rất ít điều kiện là "cần" theo nghĩa tuyệt đối 100%. Khi nói chuyện đời, nên dùng chữ "gần như cần", "thường cần" cho trung thực.
"Chỉ khi" và "khi": một chữ đổi cả nghĩa
"P nếu Q" và "P chỉ khi Q" là hai câu khác hẳn nhau:
- "Bạn được thưởng nếu đạt doanh số." Nghĩa là: đạt doanh số ⇒ được thưởng. Đạt doanh số là điều kiện đủ. Không đạt vẫn có thể được thưởng vì lý do khác.
- "Bạn được thưởng chỉ khi đạt doanh số." Nghĩa là: được thưởng ⇒ đã đạt doanh số. Đạt doanh số là điều kiện cần. Không đạt thì chắc không được thưởng; đạt rồi chưa chắc được thưởng.
- "Bạn được thưởng khi và chỉ khi đạt doanh số." Cả hai chiều: đạt là được, không đạt là không.
Trong văn nói, người Việt hay dùng "nếu" với ý "khi và chỉ khi". Bố mẹ nói "nếu con làm xong bài thì được xem hoạt hình", và cả nhà ngầm hiểu chưa làm xong thì không được xem. Về logic thuần, câu ấy không nói gì về trường hợp chưa làm xong. Ở nhà thì không sao, ai cũng hiểu ngầm. Nhưng trong hợp đồng, quy chế, điều kiện khuyến mãi, chỗ "hiểu ngầm" này sinh tranh chấp. Khi soạn hoặc đọc văn bản quan trọng, nên kiểm xem câu có nói rõ chiều ngược lại không.
Điều kiện cần và đủ trong toán học
Trong toán, nhiều định lý quan trọng có dạng "điều kiện cần và đủ" vì chúng cho ta một cách kiểm tra thay cho định nghĩa. Ví dụ ở cấp hai và cấp ba:
- Tứ giác là hình bình hành khi và chỉ khi hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
- Tam giác vuông tại A khi và chỉ khi BC² = AB² + AC² (định lý Pythagoras và định lý đảo của nó).
- Một số tự nhiên chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 3.
Ví dụ thứ hai đáng để ý: định lý Pythagoras chỉ nói một chiều (tam giác vuông ⇒ hệ thức). Chiều ngược lại là một định lý riêng, gọi là định lý Pythagoras đảo, và cũng đúng. Chỉ khi có cả hai mới nói được "khi và chỉ khi". Đây là lý do sách giáo khoa luôn tách riêng "định lý" và "định lý đảo".
Khi giải bài tập dạng "tìm điều kiện cần và đủ của m để phương trình có nghiệm", học sinh hay mắc lỗi: tìm được một điều kiện cần (ví dụ biệt thức không âm) rồi dừng, quên kiểm xem nó có đủ không. Thói quen hỏi "điều này cần hay đủ?" sau mỗi bước giúp bài làm chặt hơn.
Những lỗi hay gặp ngoài đời
- Lấy điều kiện cần làm điều kiện đủ. "Muốn giỏi tiếng Anh cần học từ vựng mỗi ngày", rồi học từ vựng mỗi ngày mà không nghe, không nói, và ngạc nhiên vì vẫn chưa giỏi. Một điều kiện cần hiếm khi đủ.
- Lấy điều kiện đủ làm điều kiện cần. "Có bằng thạc sĩ là đủ để ứng tuyển vị trí này" bị hiểu thành "phải có thạc sĩ mới được ứng tuyển", và nhiều người giỏi không nộp đơn.
- Bỏ qua chuyện cần nhiều điều kiện cùng lúc. Như tam giác cháy, nhiều kết quả cần đủ một bộ điều kiện. Thành công của một quán ăn cần vị trí, món ngon, giá hợp lý, phục vụ tốt; thiếu một thứ là có thể đóng cửa. Nhìn quán thành công rồi chỉ chép một yếu tố là chưa đủ.
Góc nhìn hôm nay: bài tập tự làm
Điền "cần", "đủ", "cần và đủ" hoặc "không cần cũng không đủ" (đáp án ở dưới):
- x = 2 là điều kiện … để x² = 4.
- x² = 4 là điều kiện … để x = 2.
- Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là điều kiện … để nó là hình vuông.
- Một số có tận cùng là 5 là điều kiện … để nó là số nguyên tố.
- Tam giác có ba cạnh bằng nhau là điều kiện … để nó là tam giác đều.
Đáp án: (1) đủ, vì x = 2 thì chắc x² = 4, nhưng x = −2 cũng cho x² = 4. (2) cần. (3) cần, vì hình thoi cũng có bốn cạnh bằng nhau mà chưa chắc là hình vuông. (4) không cần cũng không đủ: số 5 là số nguyên tố tận cùng 5, nhưng 15 không phải; số 7 nguyên tố mà không tận cùng 5. (5) cần và đủ, theo định nghĩa.
Khi đứng trước một quyết định lớn, thử viết ra: để đạt điều mình muốn, những điều kiện nào là cần, và bộ nào thì đủ? Danh sách điều kiện cần cho biết những thứ không được bỏ sót; câu hỏi về điều kiện đủ cho biết khi nào có thể yên tâm dừng lại.
Câu hỏi thường gặp
Điều kiện cần và điều kiện đủ là gì?
Khi câu "nếu P thì Q" đúng, P là điều kiện đủ để có Q và Q là điều kiện cần để có P. Điều kiện đủ là có rồi thì chắc chắn được; điều kiện cần là thiếu thì chắc chắn không được. Một điều kiện có thể chỉ cần, chỉ đủ, hoặc vừa cần vừa đủ.
Làm sao phân biệt điều kiện cần và đủ cho dễ nhớ?
Hỏi hai câu: có cái này thì chắc có kết quả không? Nếu có, nó là điều kiện đủ. Thiếu cái này thì chắc không có kết quả không? Nếu có, nó là điều kiện cần. Ví dụ oxy là điều kiện cần cho lửa cháy nhưng không đủ.
Điều kiện cần và đủ nghĩa là gì?
P là điều kiện cần và đủ để có Q khi P kéo theo Q và Q cũng kéo theo P, viết P ⇔ Q. Khi đó có P thì có Q và không có P thì không có Q. Ví dụ: tam giác có ba cạnh bằng nhau là điều kiện cần và đủ để nó là tam giác đều.
"Chỉ khi" khác "nếu" thế nào?
"P nếu Q" nghĩa là Q là điều kiện đủ cho P. "P chỉ khi Q" nghĩa là Q là điều kiện cần cho P. Văn nói tiếng Việt hay dùng "nếu" với nghĩa "khi và chỉ khi", nên trong văn bản quan trọng cần viết rõ.
Vì sao định lý Pythagoras có định lý đảo riêng?
Vì định lý Pythagoras chỉ nói một chiều: tam giác vuông thì có hệ thức giữa ba cạnh. Chiều ngược lại, có hệ thức thì tam giác vuông, là một khẳng định khác và phải chứng minh riêng. Có cả hai chiều mới nói được đó là điều kiện cần và đủ.
