Mệnh đề đảo, phản và phản đảo: hiểu đúng câu nếu thì

Từ một câu "nếu P thì Q", ta tạo được ba câu khác: mệnh đề đảo "nếu Q thì P", mệnh đề phản "nếu không P thì không Q", và mệnh đề phản đảo "nếu không Q thì không P". Chỉ có mệnh đề phản đảo luôn cùng đúng cùng sai với câu gốc; mệnh đề đảo và mệnh đề phản thì có thể sai dù câu gốc đúng. Nắm được chỗ này là tránh được một trong những lỗi suy luận hay gặp nhất ngoài đời.

Câu "nếu… thì…" trong logic

Trong chương trình Toán 10, câu "nếu P thì Q" được gọi là mệnh đề kéo theo, viết P ⇒ Q. P là giả thiết, Q là kết luận. Ví dụ:

• "Nếu tam giác ABC đều thì nó có ba góc bằng nhau."
• "Nếu trời mưa thì sân trường ướt."
• "Nếu một số chia hết cho 10 thì nó chia hết cho 5."

Điều cần nhớ: câu P ⇒ Q chỉ sai trong đúng một trường hợp: P đúng mà Q sai. Trời mưa mà sân khô (sân có mái che hoàn toàn thì không tính, ta đang nói về sân lộ thiên) thì câu "nếu trời mưa thì sân ướt" sai. Mọi trường hợp khác, câu đều được coi là đúng, kể cả khi trời không mưa. Lý do sẽ rõ hơn ở bài về bảng chân trị.

Bốn câu từ một câu gốc

Lấy câu gốc: "Nếu một số chia hết cho 10 thì nó chia hết cho 5." Câu này đúng.

Hai cặp đi với nhau: câu gốc và phản đảo luôn cùng giá trị; mệnh đề đảo và mệnh đề phản cũng luôn cùng giá trị với nhau (vì mệnh đề phản chính là phản đảo của mệnh đề đảo). Một ví dụ phản bác (số 15) đánh đổ được cả hai câu đảo và phản cùng lúc.

Lưu ý về tên gọi: sách giáo khoa Toán 10 hiện hành nói rõ về mệnh đề kéo theo và mệnh đề đảo; tên "mệnh đề phản" và "mệnh đề phản đảo" gặp nhiều trong sách logic và tài liệu tham khảo. Tiếng Anh gọi bốn câu là conditional, converse, inverse, contrapositive.

Vì sao phản đảo luôn tương đương với câu gốc

Lý luận rất đời thường. Giả sử câu "nếu P thì Q" đúng. Giờ ta biết Q sai. Liệu P có đúng được không? Nếu P đúng, thì theo câu gốc Q phải đúng, mâu thuẫn. Vậy P phải sai. Tức là "nếu không Q thì không P" đúng.

Ví dụ đời sống: "Nếu gói hàng đã được giao thì trên ứng dụng sẽ có ảnh xác nhận." Nếu câu này đúng (quy trình của công ty bắt buộc chụp ảnh khi giao), thì khi trên ứng dụng chưa có ảnh xác nhận, ta suy ra được gói hàng chưa được giao, theo đúng quy trình ấy. Đó là phản đảo, và nó chắc chắn như câu gốc.

Nhưng thấy có ảnh xác nhận mà suy ra hàng đã đến tay mình thì là suy theo mệnh đề đảo, chưa chắc đúng: ảnh có thể chụp ở nhà hàng xóm.

Lỗi lẫn câu gốc với câu đảo: ví dụ ngoài đời

Người ta rất hay nghe "nếu P thì Q" rồi ngầm hiểu luôn "nếu Q thì P". Vài ví dụ:

• Sức khoẻ: "Người bị sốt xuất huyết thường sốt cao." Thấy con sốt cao chưa có nghĩa là con bị sốt xuất huyết; nhiều bệnh khác cũng sốt cao. Câu đảo không tự động đúng, nên cần đưa con đi khám để bác sĩ chẩn đoán, không tự kết luận ở nhà.
• Tuyển dụng: "Ứng viên giỏi thì phỏng vấn tự tin." Người phỏng vấn tự tin chưa chắc đã giỏi.
• Học hành: "Học sinh chăm thì điểm cao." Thấy điểm cao mà kết luận "chắc chăm lắm" có thể sai: có em học thêm đề cũ, có em có năng khiếu riêng môn ấy.
• Tin đồn: "Công ty sắp phá sản thì hay chậm lương." Công ty chậm lương một tháng chưa đủ để nói là sắp phá sản.

Lỗi theo chiều ngược lại cũng phổ biến: từ "nếu P thì Q" suy ra "nếu không P thì không Q", tức dùng mệnh đề phản. "Nếu uống thuốc này thì sẽ khỏi" không có nghĩa là không uống thì không khỏi; nhiều bệnh nhẹ tự khỏi. Đây là lý do khi chạm tới chuyện thuốc men, nên hỏi bác sĩ hay dược sĩ thay vì tự suy luận từ một câu quảng cáo.

Khi nào câu đảo cũng đúng: mệnh đề tương đương

Có những trường hợp cả câu gốc lẫn câu đảo đều đúng. Khi đó ta nói P và Q tương đương, viết P ⇔ Q, đọc là "P khi và chỉ khi Q".

• "Tam giác ABC đều khi và chỉ khi nó có ba góc bằng nhau." Cả hai chiều đều đúng.
• "Một số tự nhiên chia hết cho 10 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của nó là 0." Cả hai chiều đều đúng.
• "Một số chia hết cho 6 khi và chỉ khi nó chia hết cho cả 2 và 3." Đúng hai chiều.

Trong toán, khi định lý có dạng "khi và chỉ khi", chứng minh phải làm hai chiều. Học sinh hay chỉ chứng minh một chiều rồi tưởng đã xong. Ngoài đời, những định nghĩa tốt thường có dạng tương đương: "Người lao động được nghỉ phép năm có lương khi và chỉ khi đủ điều kiện X" rõ ràng hơn nhiều so với "nếu đủ X thì được nghỉ".

Phủ định của câu "nếu… thì…"

Đây là chỗ nhiều người sai. Phủ định của "nếu P thì Q" không phải "nếu P thì không Q", cũng không phải "nếu không P thì không Q". Vì câu gốc chỉ sai khi P đúng mà Q sai, nên phủ định của nó là:

"P và không Q".

Ví dụ: câu "Nếu em nộp bài trước thứ Sáu thì cô chấm trong tuần" bị bác bỏ khi xảy ra chuyện: em nộp bài trước thứ Sáu và cô không chấm trong tuần. Chỉ thế thôi. Còn chuyện em nộp muộn mà cô vẫn chấm trong tuần không làm câu hứa của cô sai.

Đây là cách hữu ích để đọc lời hứa, điều khoản bảo hành, cam kết dịch vụ: hỏi xem tình huống nào sẽ chứng tỏ cam kết bị phá. Trả lời được câu đó là hiểu cam kết.

Góc nhìn hôm nay: tập viết bốn câu

Bài tập dùng được ngay: lấy năm câu "nếu… thì…" trong đời sống của bạn, viết ra bốn dạng, và đánh dấu dạng nào đúng. Gợi ý vài câu để bắt đầu:

1. Nếu hôm nay là Chủ nhật thì ngân hàng gần nhà đóng cửa.
2. Nếu cây thiếu nước lâu ngày thì lá héo.
3. Nếu ai đó là công dân Việt Nam đủ 14 tuổi thì phải làm thẻ căn cước. (Kiểm lại quy định mới nhất trước khi tin câu này.)
4. Nếu xe hết xăng thì xe không nổ máy.
5. Nếu con đã đánh răng thì bàn chải ướt.

Với câu 5, thử tự hỏi: bàn chải ướt có chứng tỏ con đã đánh răng không? Không, con có thể chỉ nhúng nước. Nhưng bàn chải khô thì chắc chắn con chưa đánh răng bằng nó. Đó là phản đảo đang làm việc. Các bậc cha mẹ dùng logic này hằng ngày mà không biết tên của nó.

Muốn học tiếp, xem bài về điều kiện cần và điều kiện đủ trong mục này, vì hai khái niệm ấy chỉ là cách nói khác của câu "nếu… thì…".