Bảng chân trị: phép và, hoặc, không trong logic mệnh đề

Bảng chân trị là bảng liệt kê mọi khả năng đúng (Đ) hoặc sai (S) của các mệnh đề thành phần, và cho biết với mỗi khả năng thì mệnh đề ghép là đúng hay sai. Với phép "không" (¬), phép "và" (∧), phép "hoặc" (∨), bảng chân trị chỉ có vài dòng nhưng đủ để kiểm một quy định, một điều kiện khuyến mãi hay một câu lệnh trong bảng tính. Có n mệnh đề thành phần thì bảng có 2ⁿ dòng (2 mũ n): 2 mệnh đề là 4 dòng, 3 mệnh đề là 8 dòng.

Bảng chân trị là gì và ai đặt ra nó

Ý tưởng tính đúng sai của câu ghép từ đúng sai của các câu thành phần đã có từ phái Khắc kỷ Hy Lạp cổ. Cách trình bày thành bảng như ta quen ngày nay được phổ biến năm 1921 qua hai tác phẩm độc lập: cuốn Tractatus Logico-Philosophicus của Ludwig Wittgenstein và bài báo của nhà logic học Mỹ Emil Post. Trước đó, Charles Sanders Peirce đã thử những bảng tương tự trong các ghi chép cuối thế kỷ 19.

Trong chương trình Toán 10, bảng chân trị không phải lúc nào cũng được vẽ ra, nhưng toàn bộ phần mệnh đề phủ định, kéo theo, tương đương đều dựa trên nó.

Phép "không": đảo giá trị

Đơn giản nhất: P đúng thì "không P" sai và ngược lại. P là "Cửa hàng mở cửa hôm nay", ¬P là "Cửa hàng không mở cửa hôm nay". Một trong hai câu phải đúng, và chỉ một.

Phép "và", phép "hoặc"

• "Và" khó tính: chỉ đúng khi cả hai cùng đúng. "Hồ sơ cần ảnh 3×4 và bản sao giấy khai sinh": thiếu một là hồ sơ thiếu.
• "Hoặc" dễ tính: chỉ sai khi cả hai cùng sai. "Thanh toán bằng tiền mặt hoặc chuyển khoản": có một cách là được.

"Hoặc" của logic khác "hoặc" của tiếng Việt hằng ngày

Nhìn dòng đầu của bảng: P đúng, Q đúng thì "P hoặc Q" vẫn đúng. Logic gọi đây là "hoặc" bao hàm: một trong hai, hoặc cả hai.

Nhưng trong đời thường, người Việt hay dùng "hoặc" theo nghĩa loại trừ: chỉ một trong hai. "Trưa nay ăn cơm hoặc ăn phở" thường nghĩa là chọn một. "Con được chọn quà là xe đạp hoặc máy tính bảng" chắc chắn không có nghĩa là được cả hai. Logic có phép riêng cho nghĩa này, gọi là "hoặc loại trừ" (XOR, ký hiệu ⊕):

Hai bảng chỉ khác nhau đúng một dòng: khi cả hai đều đúng. Chính dòng này sinh tranh chấp. Chương trình khuyến mãi ghi "giảm 10% cho học sinh hoặc người trên 60 tuổi": một ông cụ 61 tuổi đang đi học lớp ngoại ngữ thì có được giảm hai lần không? Ông thoả cả hai vế, và theo nghĩa "hoặc" bao hàm thì ông vẫn được giảm 10%; chuyện cộng dồn là câu hỏi khác mà điều khoản phải ghi rõ. Khi soạn quy định, nên viết "một trong hai, không cộng dồn" hoặc "một hay cả hai" cho khỏi hiểu lầm.

Phép "nếu… thì…" và phép "khi và chỉ khi"

Hai dòng cuối của cột P ⇒ Q làm nhiều người khó chịu: giả thiết sai thì cả câu "nếu… thì…" được coi là đúng. Cách hiểu dễ nhất là coi câu kéo theo như một lời hứa. Mẹ hứa: "Nếu con được điểm 10 thì mẹ đưa đi sở thú." Mẹ thất hứa khi nào? Chỉ khi con được 10 mà mẹ không đưa đi (dòng 2). Con không được 10 thì mẹ đưa đi hay không cũng không phải thất hứa (dòng 3 và 4). Câu hứa chưa bị phá thì được coi là đúng.

Còn P ⇔ Q đúng khi P và Q cùng giá trị: cùng đúng hoặc cùng sai. Nhìn kỹ sẽ thấy cột P ⇔ Q đúng là phủ định của cột P ⊕ Q.

Lập bảng cho mệnh đề ghép: làm từng cột

Muốn biết hai cách viết có tương đương không, lập bảng và so cột. Ví dụ kiểm định luật De Morgan: ¬(P ∧ Q) có tương đương với ¬P ∨ ¬Q không?

Cột thứ tư và cột cuối giống hệt nhau ở cả bốn dòng, vậy hai biểu thức tương đương. Không cần thông minh đặc biệt, chỉ cần cẩn thận: mỗi phép một cột, đi từ trong ra ngoài.

Tương tự, có thể kiểm rằng P ⇒ Q tương đương với ¬Q ⇒ ¬P (phản đảo), và tương đương với ¬P ∨ Q. Cách viết cuối rất hữu ích: "nếu trời mưa thì mang ô" nghĩa là "hoặc trời không mưa, hoặc mang ô".

Một biểu thức đúng ở mọi dòng gọi là hằng đúng. Ví dụ P ∨ ¬P ("hoặc trời mưa hoặc trời không mưa") luôn đúng. Hằng đúng không cho thông tin gì về thế giới, nhưng là công cụ để biến đổi biểu thức.

Ứng dụng: kiểm một điều kiện có ba vế

Một cửa hàng ghi: "Miễn phí giao hàng nếu đơn từ 300.000 đồng và là thành viên, hoặc có mã giảm giá." Câu này có hai cách đọc:

• Cách A: (đơn từ 300.000 ∧ thành viên) ∨ có mã.
• Cách B: đơn từ 300.000 ∧ (thành viên ∨ có mã).

Gọi T là "đơn từ 300.000 đồng", V là "là thành viên", M là "có mã". Lập bảng 8 dòng sẽ thấy hai cách đọc khác nhau ở những dòng T sai mà M đúng: khách đơn nhỏ có mã giảm giá được miễn phí theo cách A nhưng không theo cách B. Chỉ một dấu phẩy trong câu chữ mà hai khách hàng có thể hiểu khác nhau. Trong toán, dấu ngoặc giải quyết chuyện này; trong văn bản, nên tách thành hai gạch đầu dòng rõ ràng.

Bảng tính cũng làm việc đúng như vậy: =OR(AND(T; V); M) là cách A, =AND(T; OR(V; M)) là cách B. Người lập công thức sai ngoặc là cả danh sách khách hàng bị tính sai.

Góc nhìn hôm nay: tập lập bảng

Bài tập để tự làm:

1. Lập bảng chân trị cho ¬(P ∨ Q) và ¬P ∧ ¬Q. Hai cột cuối có giống nhau không? (Có, đó là vế thứ hai của định luật De Morgan.)
2. Lập bảng cho P ⇒ Q và Q ⇒ P. Chúng khác nhau ở dòng nào? (Ở dòng P đúng Q sai và dòng P sai Q đúng: đó là lý do mệnh đề đảo không tương đương câu gốc.)
3. Lấy một điều kiện ưu đãi thật trên hoá đơn điện, phiếu khuyến mãi hoặc quy chế xét học bổng. Viết nó bằng ký hiệu ∧, ∨, ¬. Có chỗ nào đọc được hai cách không?

Bài thứ ba là bài có ích nhất. Phần lớn những lần bị "từ chối vì không đủ điều kiện" trong đời là do người đọc và người viết đặt ngoặc ở hai chỗ khác nhau mà không ai nói ra.