Biểu đồ Venn và Euler: vẽ vòng tròn để kiểm một lập luận

Biểu đồ Venn và biểu đồ Euler là cách vẽ các nhóm (tập hợp) thành những vòng tròn để nhìn thấy quan hệ giữa chúng: nhóm này nằm trong nhóm kia, hai nhóm rời nhau, hay có phần chung. Leonhard Euler phổ biến lối vẽ vòng tròn trong các bức thư viết đầu thập niên 1760, còn John Venn đưa ra cách vẽ có hệ thống năm 1880. Với vài nét bút, ta kiểm được một lập luận có chữ "mọi", "có", "không" là hợp lệ hay hỏng, và giải được những bài đếm mà học sinh Toán 10 hay gặp.

Euler và những bức thư gửi công chúa

Leonhard Euler (1707–1783), nhà toán học Thuỵ Sĩ, khi làm việc ở Viện Hàn lâm Berlin đã viết hàng trăm bức thư giảng giải khoa học cho một công chúa Đức trẻ tuổi, cháu gái của vua Phổ Friedrich II. Các bức thư viết khoảng 1760–1762, in thành sách Thư gửi một công chúa nước Đức (Lettres à une princesse d'Allemagne) từ 1768 đến 1772, bàn đủ thứ từ ánh sáng, âm thanh đến triết học. Trong một loạt thư về logic, Euler dùng hình tròn để biểu diễn các mệnh đề kiểu "Mọi A là B": vòng A nằm trọn trong vòng B.

Euler không phải người đầu tiên nghĩ tới hình tròn; Leibniz đã thử những sơ đồ tương tự trong các bản thảo cuối thế kỷ 17 nhưng không công bố. Cuốn sách của Euler được dịch ra nhiều thứ tiếng và đọc rộng rãi, nên lối vẽ này mang tên ông: vòng tròn Euler, hay biểu đồ Euler.

Venn và cách vẽ "đủ mọi ô"

John Venn (1834–1923), giảng dạy ở Đại học Cambridge, năm 1880 đăng bài "Về biểu diễn sơ đồ và cơ học các mệnh đề và suy luận" trên tạp chí Philosophical Magazine, rồi trình bày lại trong sách Symbolic Logic (1881). Ông chỉ ra chỗ bất tiện của Euler: muốn vẽ, ta phải biết trước quan hệ thật giữa các nhóm. Nếu chưa biết hai nhóm có giao nhau không thì vẽ thế nào?

Cách của Venn: luôn vẽ các vòng chồng lên nhau để tạo đủ mọi ô có thể có, rồi dùng ký hiệu để ghi thông tin:

• Tô đậm (gạch chéo) ô nào chắc chắn không có phần tử.
• Đánh dấu x vào ô nào chắc chắn có ít nhất một phần tử.
• Ô để trắng nghĩa là chưa biết.

Hai vòng tạo 4 ô (kể cả phần ngoài cả hai vòng), ba vòng tạo 8 ô. Với bốn nhóm, vòng tròn không còn tạo đủ 16 ô; Venn gợi ý dùng hình elip.

Ngày nay người ta hay gọi chung mọi sơ đồ vòng tròn là "biểu đồ Venn", kể cả những hình thực chất là biểu đồ Euler. Không sai lắm trong giao tiếp, nhưng khi học logic thì nên phân biệt.

Kiểm một lập luận bằng ba vòng tròn

Ví dụ lập luận:

• Mọi loại nấm độc đều không nên ăn sống.
• Có loại nấm trong rừng này là nấm độc.
• Vậy có loại nấm trong rừng này không nên ăn sống.

Vẽ ba vòng chồng lên nhau: Đ (nấm độc), R (nấm trong rừng này), A (nên ăn sống). Làm theo thứ tự:

1. Vẽ câu "mọi" trước: "Mọi nấm độc không nên ăn sống" nghĩa là phần Đ nằm trong A phải rỗng. Tô đậm hai ô thuộc Đ và A (một ô có R, một ô không có R).
2. Rồi mới vẽ câu "có": "Có nấm trong rừng này là nấm độc" nghĩa là phần chung Đ và R có phần tử. Phần chung đó có hai ô: một ô trong A (đã tô đậm) và một ô ngoài A. Vì ô trong A đã rỗng, dấu x phải đặt vào ô ngoài A.
3. Đọc kết luận: có dấu x nằm trong R mà ngoài A. Tức là có nấm trong rừng không nên ăn sống. Kết luận đã hiện sẵn trên hình, vậy lập luận hợp lệ.

Lý do vẽ câu "mọi" trước: câu "mọi" loại bỏ ô, làm giảm chỗ có thể đặt dấu x. Vẽ câu "có" trước thì nhiều khi không biết đặt x vào ô nào.

Khi hình vẽ lộ ra lập luận hỏng

Lập luận khác:

• Mọi người chạy bộ mỗi sáng đều dậy trước 6 giờ.
• Cô Lan dậy trước 6 giờ.
• Vậy cô Lan chạy bộ mỗi sáng.

Vẽ hai vòng: C (chạy bộ mỗi sáng), D (dậy trước 6 giờ). Câu đầu: tô đậm phần C nằm ngoài D. Cô Lan thuộc D, nhưng D có hai ô còn trống: phần trong C và phần ngoài C. Không có gì buộc cô Lan phải nằm trong C. Vậy kết luận không bắt buộc: lập luận không hợp lệ. Cô Lan có thể dậy sớm để nấu cơm, đi chợ, hay đi làm ca sáng.

Nguyên tắc chung: nếu sau khi vẽ đủ các tiền đề mà kết luận vẫn còn "có thể sai" trên hình, thì lập luận hỏng. Biểu đồ không phán đoán thay ta, nó chỉ buộc ta nhìn đủ mọi khả năng.

Biểu đồ Venn trong bài toán đếm của Toán 10

Chương tập hợp trong Toán 10 dùng biểu đồ Venn để minh hoạ giao, hợp, hiệu và phần bù, và để giải các bài đếm kiểu sau:

Một lớp có 40 học sinh. Có 25 em thích bóng đá, 18 em thích cầu lông, 7 em thích cả hai. Hỏi bao nhiêu em không thích môn nào trong hai môn?

1. Vẽ hai vòng giao nhau: B (bóng đá), C (cầu lông).
2. Điền ô giữa trước: 7 em thích cả hai.
3. Phần chỉ thích bóng đá: 25 − 7 = 18. Phần chỉ thích cầu lông: 18 − 7 = 11.
4. Số em thích ít nhất một môn: 18 + 7 + 11 = 36.
5. Số em không thích môn nào: 40 − 36 = 4.

Công thức gói gọn là: số phần tử của B hợp C bằng số phần tử của B cộng của C trừ số phần tử của phần chung, tức 25 + 18 − 7 = 36. Lỗi hay gặp là cộng thẳng 25 + 18 = 43, lớn hơn cả sĩ số lớp. Đó là dấu hiệu đã đếm trùng 7 em ở giữa.

Cách "điền ô giữa trước" dùng được cho mọi bài ba nhóm: điền phần chung của cả ba trước, rồi đến phần chung từng cặp, rồi đến phần riêng từng nhóm.

Giới hạn của biểu đồ

• Quá ba, bốn nhóm thì rối. Năm nhóm cần 32 ô, vẽ được nhưng khó đọc.
• Không biểu diễn được quan hệ như "cao hơn", "là con của", "đứng trước". Biểu đồ chỉ nói về việc thuộc hay không thuộc một nhóm.
• Hình đẹp dễ đánh lừa. Trong báo cáo, kích thước các vòng thường không tương ứng với số lượng thật. Hai vòng vẽ to bằng nhau không có nghĩa hai nhóm đông bằng nhau. Khi đọc biểu đồ trong tài liệu, hãy tìm con số ghi trong từng ô.

Góc nhìn hôm nay: một tờ giấy và cây bút

Lần tới nghe một lập luận kiểu "mọi… nên…", thử vẽ nhanh hai hoặc ba vòng tròn lên mặt sau tờ hoá đơn. Chỉ cần nhớ ba bước: vẽ đủ ô, tô đậm theo câu "mọi" và "không", đánh x theo câu "có". Vài lần là thành phản xạ.

Bài tập để tự kiểm: "Không loại rau nào trong vườn được phun thuốc trừ sâu. Có loại rau trong vườn là rau cải. Vậy có loại rau cải không được phun thuốc trừ sâu." Vẽ ba vòng (rau trong vườn, phun thuốc, rau cải) và xem dấu x có buộc phải rơi vào ô "rau cải không phun thuốc" không. (Câu trả lời: có, lập luận hợp lệ.)

Muốn xem sơ đồ gốc, bản quét sách Symbolic Logic của Venn và các bản dịch tiếng Anh Letters of Euler to a German Princess có trong nhiều thư viện số công cộng như Internet Archive.